Razones y Proporciones

 Indicadores

 

1). Identifica los números racionales e irracionales.

2). Establece razones y proporciones.

3). Aplica las propiedades de las proporciones para calcular cuartas y medias proporcionales.

4)  Aplica la regla de tres en la solución de problemas.

 

1). Conjuntos numéricos.

 

Número racional:

Un número racional es todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominadores distintos de cero.  Se representa por Q.     .     Q={ a/b  / a ∈  Z; b ∈ Z; b ≠0 }

 

Los números racionales están formados por

·         los números enteros (que pueden expresarse como cociente: 5 = 5/1, -38 = -38/1, 0 = 0/b,  b ∈Z y b ≠0)  

·               los números fraccionarios (los números racionales no enteros: 2/5, -8/12, 69/253). Las expresiones decimales periódicas o finitas se pueden expresar mediante una fracción.  Los casos son:

 

1). Número decimal exacto:: a,bc.  Ejemplo  7,25

2). Número decimal periódico puro: a,bcbc....  Ejemplo  7,8585... 

3). Número decimal periódico mixto:  a,bccc....   Ejemplo 12,2333 ,,,,

 

Número Irracional:

Un número irracional es un número que no se puede escribir en fracción (el decimal sigue para siempre, sin repetirse).

 

1). π es un número irracional  Corresponde al cociente constante entre la longitud de la circunferencia (L) y la de su diámetro (D): L/D y dice cuántas veces cabe el diámetro del círculo en la longitud de la circunferencia de modo que L/D = π.  Su valor es 3,1415926535897932384626433832795 (y más.). Los decimales no siguen ningún patrón, y no se puede escribir ninguna fracción que tenga el valor Pi.

 

2). La razón áurea es un número irracional. . Utiliza como símbolo para representarla la letra griega griega ∅  (fi o phi).  Surge al resolver el siguiente problema: encontrar un punto dentro de un segmento de recta que lo divida en dos partes: una larga de longitud a y otra más corta de longitud b. Pero, además, a debe caber tantas veces en el segmento inicial (a + b) como el número de veces que cabe b en el segmento de longitud a; es decir: a/b=  (a+b)/a..  El valor de esta razón a/b es  ∅=  (1+ √5)/2≈1.618 

3). Hipaso de Metaponto y el hallazgo de los números irracionales. Uno de los estudiantes del matemático griego Pitágoras, demostró que no se puede escribir la  √2   en forma de fracción y que por lo tanto es irracional.

2). Razones y proporciones

Recta; Una recta es una línea continúa formada por infinitos puntos, que no tiene ni principio ni final.

Segmento de recta; Un segmento de recta es la porción o parte de una recta delimitada por dos puntos. Por tanto, un segmento tiene principio y fin. 

A los puntos  A  y  B se les llama extremos del segmento. Se representa por  

Razón o Relación. Una razón es el cociente (división) indicado entre dos cantidades a y b, cuando b es  un  número distinto de cero. Tradicionalmente la representación de las razones se escribe separando los dos números mediante los signos   :  (a : b)    ó  /  (a / b). Se lee « a es a b ».

Si   a = 3 y b= 4 entonces se puede escribir la razón   3 : 4  ó  3 / 4

También puede representarse en forma decimal 3 / 4 = 0,75

 

La razón entre 75 y 25 es: 75∶25   ó    75/25=3

A1.-Resolver de acuerdo con lo solicitado en cada caso. Escribir la razón y determinar su valor.

 

1). Antecedente 7 y consecuente 4.		a/b=
2). La velocidad es la razón entre la distancia y el tiempo. . Un auto recorre 300 Km en 4 horas. . v=d/t.		v=
3). En la sección, el cociente entre el número de hombres y el de las mujeres.		H/M=
4). En la sección, la razón entre el número de hombres y el total de estudiantes del curso. La razón entre el número de mujeres y el total de estudiantes del curso.		H/(H+M)=
		M/(H+M)=
5). La densidad es la razón de la concentración de la masa en un volumen. d=M/V.  Las unidades de medidas son Kg  ⁄ m^3   o  (gramo ⁄cm^3  Un sólido de masa 40 gramos ocupa un volumen de 32 cm^3.		d =
6). La Presión es el cociente entre el valor de la fuerza ejercida y la superficie sobre la que actúa la fuerza.. La fuerza se expresa en Newton y la superficie en m^2 Se aplica una fuerza de 18 Newton en una superficie que tiene un área de 54 m^2 .		p=
7). Para a=8  y  b=5  (a>b), determinar las siguientes razones:		a/b=
		(a+b)/a=